Iloczyn krzyżowy wektorów

W tej publikacji zastanowimy się, jak znaleźć iloczyn krzyżowy dwóch wektorów, podać interpretację geometryczną, wzór algebraiczny i właściwości tego działania, a także przeanalizować przykład rozwiązania problemu.

Interpretacja geometryczna

Iloczyn wektorowy dwóch niezerowych wektorów a и b jest wektorem c, który jest oznaczony jako [a, b] or a x b.

Długość wektora c jest równa powierzchni równoległoboku zbudowanego przy użyciu wektorów a и b.

W tym przypadku, c prostopadle do płaszczyzny, w której się znajdują a и b, i znajduje się tak, aby najmniejszy obrót od a к b wykonano w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (z punktu widzenia końca wektora).

Formuła krzyżowa produktów

Iloczyn wektorów a = {a_x; do_y,_z} I b = {b_x; B_yb_z} jest obliczana przy użyciu jednego z poniższych wzorów:

Właściwości krzyżowe produktów

1. Iloczyn krzyżowy dwóch niezerowych wektorów jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy te wektory są współliniowe.

[a, b] = 0Jeśli a || b.

2. Moduł iloczynu poprzecznego dwóch wektorów jest równy powierzchni równoległoboku utworzonego przez te wektory.

S_równolegle = |a x b|

3. Powierzchnia trójkąta utworzonego przez dwa wektory jest równa połowie ich iloczynu wektorowego.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Wektor będący iloczynem krzyżowym dwóch innych wektorów jest do nich prostopadły.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (M a) X a = a x (M b) = m (a x b)

7. (a + b) X c = a x c + b x c

Przykład problemu

Oblicz iloczyn krzyżowy a = {2; 4; 5} и b = {9; -dwa; 3}.

Decyzja:

Odpowiedź: a x b = {19; 43; -42}.