Twierdzenie Thalesa: sformułowanie i przykład rozwiązania problemu

W tej publikacji rozważymy jedno z głównych twierdzeń w geometrii klasy 8 – twierdzenie Talesa, które otrzymało taką nazwę na cześć greckiego matematyka i filozofa Talesa z Miletu. Przeanalizujemy również przykład rozwiązania problemu, aby utrwalić przedstawiony materiał.

Stwierdzenie twierdzenia

Jeśli równe odcinki są mierzone na jednej z dwóch prostych i przez ich końce poprowadzone są równoległe linie, to przecinając drugą prostą odetną na niej równe sobie odcinki.

• A₁A₂ = A₂A₃ ...
• B₁B₂ =B₂B₃ ...

Uwaga: Wzajemne przecięcie siecznych nie odgrywa żadnej roli, tzn. twierdzenie jest prawdziwe zarówno dla przecinających się prostych, jak i równoległych. Nie ma też znaczenia położenie segmentów na siecznych.

Uogólnione sformułowanie

Twierdzenie Thalesa jest przypadkiem szczególnym twierdzenia o segmentach proporcjonalnych*: równoległe linie przecinają proporcjonalne segmenty w siecznych.

Zgodnie z tym, dla naszego rysunku powyżej, następująca równość jest prawdziwa:

* ponieważ równe segmenty, w tym, są proporcjonalne ze współczynnikiem proporcjonalności równym jeden.

Odwrotność twierdzenia Talesa

1. Dla przecinających się siecznych

Jeśli linie przecinają dwie inne linie (równoległe lub nie) i odcinają na nich równe lub proporcjonalne segmenty, zaczynając od góry, to te linie są równoległe.

Z twierdzenia odwrotnego wynika:

Warunek wymagany: równe segmenty powinny zaczynać się od góry.

2. Dla siecznych równoległych

Segmenty na obu siecznych muszą być sobie równe. Tylko w tym przypadku twierdzenie ma zastosowanie.

• a || b
• A₁A₂ =B₁B₂ = A₂A₃ =B₂B₃ ...

Przykład problemu

Biorąc pod uwagę segment AB na powierzchni. Podziel go na 3 równe części.

Rozwiązanie

Rysuj od punktu A kierować a i zaznacz na nim trzy kolejne równe segmenty: AC, CD и DE.

skrajny punkt E na linii prostej a połącz z kropką B na segmencie. Następnie przez pozostałe punkty C и D równolegle BE narysuj dwie linie, które przecinają odcinek AB.

Utworzone w ten sposób punkty przecięcia na odcinku AB dzielą go na trzy równe części (zgodnie z twierdzeniem Talesa).