Układ liniowych równań algebraicznych

W tej publikacji rozważymy definicję układu liniowych równań algebraicznych (SLAE), jak on wygląda, jakie są jego typy, a także jak przedstawić go w postaci macierzowej, w tym rozszerzonej.

Definicja układu równań liniowych

Układ liniowych równań algebraicznych (lub w skrócie „SLAU”) to system, który ogólnie wygląda tak:

• m to liczba równań;
• n to liczba zmiennych.
• x₁X₂,…, X_n - nieznany;
• a₁₁,₁₂…, A_mn – współczynniki dla niewiadomych;
• b₁b₂,…, B_m – wolni członkowie.

Wskaźniki współczynnika (a_ij) mają postać:

• i jest liczbą równania liniowego;
• j to numer zmiennej, do której odnosi się współczynnik.

Rozwiązanie SLAU – takie liczby c₁C₂,…, C_n , w którym zamiast x₁X₂,…, X_n, wszystkie równania układu zamienią się w tożsamości.

Rodzaje SLAU

1. Jednorodny – wszystkie wolne elementy systemu są równe zeru (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heterogeniczny – jeśli powyższy warunek nie jest spełniony.
3. Kwadratowe – liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, tj. m = rz.

   

4. Nieokreślony – liczba niewiadomych jest większa niż liczba równań.

   

5. zastąpione Jest więcej równań niż zmiennych.

   

W zależności od ilości rozwiązań SLAE może być:

1. Wspólny ma co najmniej jedno rozwiązanie. Co więcej, jeśli jest unikalny, system nazywamy określonym, jeśli jest kilka rozwiązań, nazywamy go nieokreślonym.

   

   Powyższy SLAE jest wspólny, ponieważ istnieje co najmniej jedno rozwiązanie: x = 2y = 3.

2. niezgodny System nie ma rozwiązań.

   

   Prawe strony równań są takie same, ale lewe nie. Nie ma więc rozwiązań.

Notacja macierzowa systemu

SLAE można przedstawić w postaci macierzowej:

AX = B

• A jest macierzą utworzoną przez współczynniki niewiadomych:

  

• X – kolumna zmiennych:

  

• B – kolumna wolnych członków:

  

Przykład

Przedstawiamy poniższy układ równań w postaci macierzowej:

Korzystając z powyższych formularzy, składamy główną macierz ze współczynnikami, kolumny z nieznanymi i wolnymi członkami.

Pełny zapis podanego układu równań w postaci macierzowej:

Rozszerzona macierz SLAE

Jeśli do macierzy systemu A dodaj kolumnę darmowych członków po prawej stronie B, oddzielając dane pionową kreską, otrzymujesz rozszerzoną macierz SLAE.

W powyższym przykładzie wygląda to tak:

– oznaczenie rozszerzonej macierzy.