Liniowe zależne i niezależne wiersze: definicja, przykłady

W tej publikacji zastanowimy się, czym jest liniowa kombinacja strun, strun liniowo zależnych i niezależnych. Podamy również przykłady dla lepszego zrozumienia materiału teoretycznego.

Definiowanie liniowej kombinacji strun

Kombinacja liniowa (LK) termin s₁Z₂, …, S_n matryca A nazwany wyrażeniem o następującej postaci:

αs₁ + αs₂ + … + αs_n

Jeśli wszystkie współczynniki α_i są równe zero, więc LC jest trywialny. Innymi słowy, trywialna kombinacja liniowa równa się wierszowi zerowemu.

Na przykład: 0 · s₁ + 0 · s₂ + 0 · s₃

W związku z tym, jeśli przynajmniej jeden ze współczynników α_i nie jest równy zero, to LC jest nietrywialne.

Na przykład: 0 · s₁ + 2 · s₂ + 0 · s₃

rzędy liniowo zależne i niezależne

System strun jest liniowo zależne (LZ) jeśli istnieje ich nietrywialna kombinacja liniowa, która jest równa linii zerowej.

Stąd wynika, że ​​nietrywialny LC może w niektórych przypadkach być równy łańcuchowi zerowemu.

System strun jest liniowo niezależny (LNZ) jeśli tylko trywialne LC jest równe łańcuchowi zerowemu.

Uwagi:

• W macierzy kwadratowej układ wierszy jest LZ tylko wtedy, gdy wyznacznikiem tej macierzy jest zero (dotychczasowy =
• W macierzy kwadratowej układ wierszy jest LIS tylko wtedy, gdy wyznacznik tej macierzy nie jest równy zero (dotychczasowy 0).

Przykład problemu

Dowiedzmy się, czy system strun jest {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} liniowo zależne.

Decyzja:

1. Najpierw zróbmy LC.

α₁{3 4} +₂{9 12}.

2. Teraz dowiedzmy się, jakie wartości należy przyjąć α₁ и α₂tak, że kombinacja liniowa równa się łańcuchowi zerowemu.

α₁{3 4} +₂{9 12} = {0 0}.

3. Zróbmy układ równań:

4. Podziel pierwsze równanie przez trzy, drugie przez cztery:

5. Rozwiązanie tego systemu jest dowolne α₁ и α₂, Z α₁ = -3a₂.

Na przykład, jeśli α₂ = 2następnie α₁ = -6. Podstawiamy te wartości do powyższego układu równań i otrzymujemy:

Odpowiedź: więc linie s₁ и s₂ liniowo zależne.