W tej publikacji zastanowimy się, czym jest metoda Gaussa, dlaczego jest potrzebna i jaka jest jej zasada. Na praktycznym przykładzie pokażemy również, jak można zastosować tę metodę do rozwiązania układu równań liniowych.
Opis metody Gaussa
Metoda Gaussa to klasyczna metoda sekwencyjnej eliminacji zmiennych wykorzystywanych do rozwiązywania . Jego nazwa pochodzi od niemieckiego matematyka Carla Friedricha Gaussa (1777-1885).
Ale najpierw przypomnijmy, że SLAU może:
- mieć jedno rozwiązanie;
- mieć nieskończoną liczbę rozwiązań;
- być niezgodne, tj. nie mieć rozwiązań.
Praktyczne korzyści
Metoda Gaussa to świetny sposób na rozwiązanie SLAE, który zawiera więcej niż trzy równania liniowe, a także układy, które nie są kwadratowe.
Zasada metody Gaussa
Metoda obejmuje następujące kroki:
- proste – macierz rozszerzona odpowiadająca układowi równań, sprowadza się drogą nad wierszami do górnej trójkątnej (schodkowej) postaci, czyli pod główną przekątną powinny znajdować się tylko elementy równe zeru.
- z powrotem – w otrzymanej macierzy elementy nad główną przekątną również są ustawione na zero (widok dolny trójkątny).
Przykład rozwiązania SLAE
Rozwiążmy poniższy układ równań liniowych metodą Gaussa.
Rozwiązanie
1. Na początek przedstawiamy SLAE w postaci rozszerzonej macierzy.
2. Teraz naszym zadaniem jest zresetowanie wszystkich elementów pod główną przekątną. Dalsze działania zależą od konkretnej matrycy, poniżej opiszemy te, które dotyczą naszego przypadku. Najpierw zamieniamy wiersze, umieszczając w ten sposób ich pierwsze elementy w kolejności rosnącej.
3. Od drugiego rzędu odejmij dwa razy pierwszy, a od trzeciego trzykrotnie pierwszy.
4. Dodaj drugą linię do trzeciej linii.
5. Odejmij drugą linię od pierwszej linii i jednocześnie podziel trzecią linię przez -10.
6. Pierwszy etap zakończony. Teraz musimy uzyskać elementy zerowe nad główną przekątną. Aby to zrobić, odejmij trzecią wartość pomnożoną przez 7 z pierwszego wiersza i dodaj trzecią pomnożoną przez 5 do drugiego.
7. Ostateczna rozszerzona macierz wygląda tak:
8. Odpowiada układowi równań:
Odpowiedź: główny SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.