Spis treści
W tej publikacji rozważymy podstawowe właściwości wysokości w trójkącie równobocznym (regularnym). Przeanalizujemy również przykład rozwiązania problemu na ten temat.
Uwaga: trójkąt nazywa się równobocznyjeśli wszystkie jego boki są równe.
Właściwości wysokości w trójkącie równobocznym
Właściwość 1
Dowolna wysokość w trójkącie równobocznym to zarówno dwusieczna, mediana, jak i prostopadła dwusieczna.
- BD – wysokość obniżona na bok AC;
- BD to mediana dzieląca bok AC na pół, czyli AD = DC;
- BD – dwusieczna kąta ABC, tj. ∠ABD = ∠CBD;
- BD jest medianą prostopadłą do AC.
Właściwość 2
Wszystkie trzy wysokości w trójkącie równobocznym mają tę samą długość.
AE = BD = CF
Właściwość 3
Wysokości w trójkącie równobocznym w ortocentrum (punkt przecięcia) są podzielone w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka, z którego zostały narysowane.
- AO = 2OE
- BO = 2OD
- CO = 2F
Właściwość 4
Ortocentrum trójkąta równobocznego jest środkiem okręgów wpisanych i opisanych.
- R jest promieniem opisanego okręgu;
- r jest promieniem wpisanego okręgu;
- R = 2r (postępuje z Właściwości 3).
Właściwość 5
Wysokość w trójkącie równobocznym dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o równym polu powierzchni.
S1 = S2
Trzy wysokości w trójkącie równobocznym dzielą go na 6 trójkątów prostokątnych o równej powierzchni.
Właściwość 6
Znając długość boku trójkąta równobocznego, jego wysokość można obliczyć ze wzoru:
a jest bokiem trójkąta.
Przykład problemu
Promień okręgu opisanego wokół trójkąta równobocznego wynosi 7 cm. Znajdź bok tego trójkąta.
Rozwiązanie
Jak wiemy z właściwości 3 и 4, promień opisanego okręgu wynosi 2/3 wysokości trójkąta równobocznego (h). W konsekwencji, h = 7 2 ⋅ 3 = 10,5 cm.
Teraz pozostaje obliczyć długość boku trójkąta (wyrażenie pochodzi ze wzoru w Właściwość 6):
