Znajdowanie macierzy odwrotnej

W tej publikacji zastanowimy się, czym jest macierz odwrotna, a także na praktycznym przykładzie przeanalizujemy, jak można ją znaleźć za pomocą specjalnej formuły i algorytmu działań sekwencyjnych.

Definicja macierzy odwrotnej

Najpierw pamiętajmy, czym są odwrotności w matematyce. Powiedzmy, że mamy liczbę 7. Wtedy jej odwrotnością będzie 7^-1 or ¹/₇. Jeśli pomnożysz te liczby, wynik będzie jeden, czyli 7 7^-1 = 1.

Prawie tak samo z macierzami. Odwrócenie taka macierz nazywa się, mnożąc którą przez pierwotną otrzymujemy identyczną. Jest oznaczona jako A^-1.

A · A^-1 =E

Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej

Aby znaleźć macierz odwrotną, musisz umieć obliczyć macierze, a także umieć wykonywać na nich określone czynności.

Należy od razu zauważyć, że odwrotność można znaleźć tylko dla macierzy kwadratowej, a odbywa się to za pomocą poniższego wzoru:

|A| – wyznacznik macierzy;

A^T_M jest transponowaną macierzą dodawania algebraicznego.

Uwaga: jeśli wyznacznik wynosi zero, to macierz odwrotna nie istnieje.

Przykład

Znajdźmy macierz A poniżej znajduje się jego odwrotność.

Rozwiązanie

1. Najpierw znajdźmy wyznacznik danej macierzy.

2. Teraz zróbmy macierz, która ma takie same wymiary jak oryginalna:

Musimy dowiedzieć się, które liczby powinny zastąpić gwiazdki. Zacznijmy od lewego górnego elementu macierzy. Drobny do niego znajduje się przekreślając wiersz i kolumnę, w których się znajduje, czyli w obu przypadkach pod numerem jeden.

Liczba, która pozostaje po przekreśleniu, to wymagana liczba małoletnia, tj M₁₁ = 8.

Podobnie znajdujemy minory dla pozostałych elementów macierzy i otrzymujemy następujący wynik.

3. Definiujemy macierz dodawania algebraicznego. Jak je obliczyć dla każdego elementu, rozważaliśmy osobno.

Na przykład dla elementu a₁₁ dodawanie algebraiczne jest rozpatrywane w następujący sposób:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Dokonaj transpozycji otrzymanej macierzy dodawania algebraicznych (tzn. zamień kolumny i wiersze).

5. Pozostaje tylko użyć powyższego wzoru, aby znaleźć macierz odwrotną.

Odpowiedź możemy pozostawić w takiej postaci, bez dzielenia elementów macierzy przez liczbę 11, ponieważ w tym przypadku otrzymujemy brzydkie liczby ułamkowe.

Sprawdzanie wyniku

Aby upewnić się, że otrzymaliśmy odwrotność macierzy oryginalnej, możemy znaleźć ich iloczyn, który powinien być równy macierzy jednostkowej.

W rezultacie otrzymaliśmy macierz tożsamości, co oznacza, że ​​zrobiliśmy wszystko dobrze.