Małe twierdzenie Fermata

W tej publikacji rozważymy jedno z głównych twierdzeń teorii liczb całkowitych –  Małe twierdzenie Fermatanazwany na cześć francuskiego matematyka Pierre'a de Fermata. Przeanalizujemy również przykład rozwiązania problemu, aby utrwalić przedstawiony materiał.

Stwierdzenie twierdzenia

1. Początkowa

If p jest liczbą pierwszą a jest liczbą całkowitą niepodzielną przez pnastępnie a^p-1 - 1 podzielone przez p.

Formalnie jest napisany tak: a^p-1 1 (przeciwko p).

Uwaga: Liczba pierwsza to liczba naturalna, która jest podzielna tylko przez XNUMX i samą siebie bez reszty.

Na przykład:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• numer 15 podzielone przez 5 bez reszty.

2. Alternatywa

If p jest liczbą pierwszą, a dowolna liczba całkowita, to a^p porównywalny do a Modulo p.

a^p a (przeciwko p)

Historia znajdowania dowodów

Pierre de Fermat sformułował twierdzenie w 1640 r., ale sam go nie udowodnił. Później zrobił to Gottfried Wilhelm Leibniz, niemiecki filozof, logik, matematyk itp. Uważa się, że dowód ten miał już w 1683 r., chociaż nigdy go nie opublikowano. Warto zauważyć, że Leibniz sam odkrył twierdzenie, nie wiedząc, że zostało już wcześniej sformułowane.

Pierwszy dowód twierdzenia został opublikowany w 1736 roku i należy do Szwajcara, Niemca oraz matematyka i mechanika Leonharda Eulera. Małe Twierdzenie Fermata jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Eulera.

Przykład problemu

Znajdź resztę liczby 2¹² on 12.

Rozwiązanie

Wyobraźmy sobie numer 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 jest liczbą pierwszą, dlatego z małego twierdzenia Fermata otrzymujemy:

2¹¹ 2 (przeciwko 11).

Stąd, 2⋅2¹¹ 4 (przeciwko 11).

Więc liczba 2¹² podzielone przez 12 z resztą równą 4.