Spis treści
W tej publikacji rozważymy jedno z klasycznych twierdzeń geometrii afinicznej – twierdzenie Ceva, które otrzymało taką nazwę na cześć włoskiego inżyniera Giovanniego Cevy. Przeanalizujemy również przykład rozwiązania problemu w celu utrwalenia przedstawionego materiału.
Stwierdzenie twierdzenia
Dany trójkąt ABC, w którym każdy wierzchołek jest połączony z punktem po przeciwnej stronie.
W ten sposób otrzymujemy trzy segmenty (AA ', BB ' и CC '), które są nazywane cewianie.
Te segmenty przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następująca równość:
|ORAZ'| |NIE'| |CB”| = |PNE '| |ZMIANA'| |AB '|
Twierdzenie można również przedstawić w tej postaci (określa się, w jakim stosunku punkty dzielą boki):
Twierdzenie trygonometryczne Cevy
Uwaga: wszystkie rogi są zorientowane.
Przykład problemu
Dany trójkąt ABC z kropkami DO', B ' и C ' na bokach BC, AC и AB, odpowiednio. Wierzchołki trójkąta są połączone z podanymi punktami, a utworzone odcinki przechodzą przez jeden punkt. Jednocześnie punkty DO' и B ' wykonane w punktach środkowych odpowiednich przeciwległych boków. Dowiedz się, w jakim stosunku punkt C ' dzieli bok AB.
Rozwiązanie
Narysujmy rysunek zgodnie z warunkami problemu. Dla naszej wygody przyjmujemy następującą notację:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Pozostaje tylko skomponować stosunek segmentów zgodnie z twierdzeniem Ceva i podstawić w nim przyjętą notację:
Po redukcji frakcji otrzymujemy:
Stąd, AC' = C'B, czyli punkt C ' dzieli bok AB w połowie.
Dlatego w naszym trójkącie segmenty AA ', BB ' и CC ' są mediany. Po rozwiązaniu problemu udowodniliśmy, że przecinają się w jednym punkcie (ważne dla dowolnego trójkąta).
Uwaga: korzystając z twierdzenia Cevy można udowodnić, że w trójkącie w jednym punkcie przecinają się również dwusieczne lub wysokości.