W tej publikacji rozważymy jedno z głównych twierdzeń geometrii euklidesowej – twierdzenie Stewarta, które otrzymało taką nazwę na cześć angielskiego matematyka M. Stewarta, który to udowodnił. Szczegółowo przeanalizujemy również przykład rozwiązania problemu, aby utrwalić przedstawiony materiał.
Stwierdzenie twierdzenia
Trójkąt Dan ABC. Po jego stronie AC punkt zajęty D, który jest połączony z blatem B. Przyjmujemy następującą notację:
- AB = za
- pne = b
- BD = str
- AD = x
- DC = i
Dla tego trójkąta równość jest prawdziwa:
Zastosowanie twierdzenia
Z twierdzenia Stewarta można wyprowadzić wzory na znalezienie median i dwusiecznych trójkąta:
1. Długość dwusiecznej
Niech lc czy dwusieczna jest wyciągnięta na bok? c, który jest podzielony na segmenty x и y. Weźmy pozostałe dwa boki trójkąta jako a и b… W tym przypadku:
2. Mediana długości
Niech mc czy mediana jest odrzucona na bok? c. Oznaczmy pozostałe dwa boki trójkąta jako a и b… Następnie:
Przykład problemu
Dany trójkąt ABC. Od strony AC równy 9 cm, punkt zajęty D, który dzieli bok tak, że AD dwa razy dłuższy DC. Długość odcinka łączącego wierzchołek B i punkt D, wynosi 5 cm. W tym przypadku uformowany trójkąt ABD jest równoramienny. Znajdź pozostałe boki trójkąta ABC.
Rozwiązanie
Przedstawmy warunki problemu w formie rysunku.
AC = AD + DC = 9 cm. AD dłużej DC dwa razy, czyli AD = 2DC.
W związku z tym 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Więc, DC = 3cm, AD = 6 cm.
Ponieważ trójkąt ABD – równoramienne i boczne AD ma 6 cm, więc są równe AB и BDIe AB = 5 cm.
Pozostaje tylko znaleźć BC, wyprowadzając wzór z twierdzenia Stewarta:
Do tego wyrażenia podstawiamy znane wartości:
W ten sposób BC = 52 ≈ 7,21 cm.