Właściwości wysokości trójkąta prostokątnego

W tej publikacji rozważymy główne właściwości wysokości w trójkącie prostokątnym, a także przeanalizujemy przykłady rozwiązywania problemów na ten temat.

Uwaga: trójkąt nazywa się prostokątny, jeśli jeden z jego kątów jest prosty (równy 90°), a dwa pozostałe są ostre (<90°).

Właściwości wysokości w trójkącie prostokątnym

Właściwość 1

Trójkąt prostokątny ma dwie wysokości (h₁ и h₂) pokrywają się z jego nogami.

trzecia wysokość (h₃) schodzi do przeciwprostokątnej pod kątem prostym.

Właściwość 2

Ortocentrum (punkt przecięcia wysokości) trójkąta prostokątnego znajduje się w wierzchołku kąta prostego.

Właściwość 3

Wysokość w trójkącie prostokątnym narysowanym do przeciwprostokątnej dzieli ją na dwa podobne trójkąty prostokątne, które również są podobne do pierwotnego.

1.ABD ~ABC pod dwoma równymi kątami: ∠ADB =LAC (linie proste), ∠ABD =ABC.

2.ADC ~ABC pod dwoma równymi kątami: ∠ADC =LAC (linie proste), ∠ACD =ACB.

3.ABD ~ADC pod dwoma równymi kątami: ∠ABD =DAC,BAD =ACD.

Dowód: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). W tym samym czasie ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

DlategoBAD =ACD.

Można to udowodnić w podobny sposób, że ∠ABD =DAC.

Właściwość 4

W trójkącie prostokątnym wysokość narysowaną do przeciwprostokątnej oblicza się w następujący sposób:

1. Przez segmenty na przeciwprostokątnej, powstały w wyniku jego podziału przez podstawę wysokości:

2. Przez długości boków trójkąta:

Ten wzór pochodzi z Własności sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym (sinus kąta jest równy stosunkowi przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej):

Uwaga: do trójkąta prostokątnego obowiązują również ogólne właściwości wysokości przedstawione w naszej publikacji.

Przykład problemu

Zadanie 1

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest podzielona przez narysowaną do niej wysokość na odcinki 5 i 13 cm. Znajdź długość tej wysokości.

Rozwiązanie

Użyjmy pierwszego wzoru przedstawionego w Właściwość 4:

Zadanie 2

Nogi trójkąta prostokątnego mają 9 i 12 cm. Znajdź długość wysokości narysowanej do przeciwprostokątnej.

Rozwiązanie

Najpierw znajdźmy długość przeciwprostokątnej wzdłuż (niech nogi trójkąta będą "do" и "B", a przeciwprostokątna to "vs"):

c² = A² + B² = 9² + 12² = 225.

W związku z tym с = 15 cm.

Teraz możemy zastosować drugą formułę z Właściwości 4omówione powyżej: