Spis treści
W tym artykule rozważymy definicję mediany trójkąta, wymienimy jego właściwości, a także przeanalizujemy przykłady rozwiązywania problemów w celu utrwalenia materiału teoretycznego.
Definicja mediany trójkąta
Mediana to odcinek linii, który łączy wierzchołek trójkąta ze środkiem boku przeciwległego do tego wierzchołka.
- BF czy mediana jest narysowana na bok? AC.
- AF = FC
Mediana podstawowa – punkt przecięcia mediany z bokiem trójkąta, czyli środek tego boku (punkt F).
mediana właściwości
Właściwość 1 (główna)
Ponieważ Jeśli trójkąt ma trzy wierzchołki i trzy boki, to są odpowiednio trzy mediany. Wszystkie przecinają się w jednym punkcieO), który jest nazywany środek ciężkości or środek ciężkości trójkąta.
W miejscu przecięcia się środkowych każda z nich jest podzielona w stosunku 2:1, licząc od góry. Tych.:
- AO = 2OE
- BO = 2F
- CO = 2OD
Właściwość 2
Mediana dzieli trójkąt na 2 trójkąty o równej powierzchni.
S1 = S2
Właściwość 3
Trzy mediany dzielą trójkąt na 6 trójkątów o równej powierzchni.
S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6
Właściwość 4
Najmniejsza mediana odpowiada największemu bokowi trójkąta i odwrotnie.
- AC to najdłuższy bok, stąd mediana BF - najkrótszy.
- AB jest najkrótszym bokiem, stąd mediana CD - najdłuższy.
Właściwość 5
Załóżmy, że znamy wszystkie boki trójkąta (przyjmijmy je jako a, b и c).
mediana długości maciągnięty na bok a, można znaleźć według wzoru:
Przykłady zadań
Zadanie 1
Powierzchnia jednej z figur powstałych w wyniku przecięcia trzech środkowych w trójkącie wynosi 5 cm2. Znajdź obszar trójkąta.
Rozwiązanie
Zgodnie z właściwością 3, omówioną powyżej, w wyniku przecięcia trzech środkowych powstaje 6 trójkątów o równej powierzchni. W konsekwencji:
S△ = 5 cm2 ⋅6 = 30 cm2.
Zadanie 2
Boki trójkąta mają 6, 8 i 10 cm. Znajdź medianę narysowaną z boku o długości 6 cm.
Rozwiązanie
Wykorzystajmy wzór podany we właściwości 5:
