Wyodrębnianie pierwiastka liczby zespolonej

W tej publikacji przyjrzymy się, jak można wyciągnąć pierwiastek z liczby zespolonej, a także jak może to pomóc w rozwiązywaniu równań kwadratowych, których dyskryminator jest mniejszy od zera.

Wyodrębnianie pierwiastka liczby zespolonej

Pierwiastek kwadratowy

Jak wiemy, nie da się wyciągnąć pierwiastka z ujemnej liczby rzeczywistej. Ale jeśli chodzi o liczby zespolone, ta czynność może być wykonana. Rozwiążmy to.

Powiedzmy, że mamy numer z = -9. Forum √-9 istnieją dwa korzenie:

z₁ =-9 = -3i

z₁ =-9 = 3i

Sprawdźmy otrzymane wyniki, rozwiązując równanie z² = -9, nie zapominając o tym i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ja² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ja² = 9 ⋅ (-1) = -9

W ten sposób udowodniliśmy, że -3i и 3i są korzenie √-9.

Pierwiastek liczby ujemnej jest zwykle pisany w ten sposób:

√-1 = ± j

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i itd.

Zakorzenić się w potędze n

Załóżmy, że otrzymaliśmy równania postaci z = ⁿ√w… To ma n korzenie (z₀, Z₁, Z₂,…, z_n-1), którą można obliczyć korzystając z poniższego wzoru:

|w| jest modułem liczby zespolonej w;

φ – jego argument

k to parametr, który przyjmuje wartości: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Równania kwadratowe o złożonych pierwiastkach

Wyodrębnienie korzenia liczby ujemnej zmienia zwykłą ideę uXNUMXbuXNUMXb. Jeśli wyróżnik (D) jest mniejsze od zera, to nie może być pierwiastków rzeczywistych, ale można je przedstawić jako liczby zespolone.

Przykład

Rozwiążmy równanie x² – 8x + 20 = 0.

Rozwiązanie

a = 1, b = -8, c = 20

re = b² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, ale nadal możemy zakorzenić się w negatywnym wyróżniku:

√D =-16 = ±4i

Teraz możemy obliczyć pierwiastki:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Dlatego równanie x² – 8x + 20 = 0 ma dwa złożone korzenie sprzężone:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i