Jaka jest granica funkcji

W tej publikacji rozważymy jedno z głównych pojęć analizy matematycznej – granicę funkcji: jej definicję, a także różne rozwiązania z praktycznymi przykładami.

Określanie granicy funkcji

Ograniczenie funkcji – wartość, do której dąży wartość tej funkcji, gdy jej argument zmierza do granicy.

Rekord limitu:

• limit jest oznaczony ikoną lim;
• poniżej dodaje się, do jakiej wartości dąży argument (zmienna) funkcji. Zwykle to x, ale niekoniecznie, na przykład:x→1″;
• wtedy sama funkcja jest dodawana po prawej stronie, na przykład:

  

Tak więc ostateczny zapis limitu wygląda tak (w naszym przypadku):

Czyta jak „granica funkcji, gdy x dąży do jedności”.

x→ 1 – oznacza to, że „x” konsekwentnie przyjmuje wartości, które nieskończenie zbliżają się do jedności, ale nigdy się z nią nie zbiegną (nie zostaną osiągnięte).

Granice decyzji

O podanym numerze

Rozwiążmy powyższy limit. Aby to zrobić, po prostu zastąp jednostkę w funkcji (ponieważ x→1):

Tak więc, aby rozwiązać granicę, najpierw próbujemy po prostu podstawić podaną liczbę do funkcji poniżej niej (jeśli x dąży do określonej liczby).

Z nieskończonością

W tym przypadku argument funkcji rośnie w nieskończoność, czyli "X" dąży do nieskończoności (∞). Na przykład:

If x→∞, wtedy dana funkcja dąży do minus nieskończoności (-∞), ponieważ:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 itd.

Kolejny bardziej złożony przykład

Aby rozwiązać ten limit, po prostu zwiększ wartości x i spójrz na „zachowanie” funkcji w tym przypadku.

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Tak więc dla "X"dążący do nieskończoności, funkcja x² +3x –6 rośnie w nieskończoność.

Z niepewnością (x dąży do nieskończoności)

W tym przypadku mówimy o granicach, gdy funkcja jest ułamkiem, którego licznik i mianownik są wielomianami. W którym "X" dąży do nieskończoności.

Przykład: obliczmy granicę poniżej.

Rozwiązanie

Wyrażenia w liczniku i mianowniku mają tendencję do nieskończoności. Można założyć, że w tym przypadku rozwiązanie będzie wyglądało następująco:

Jednak nie wszystko jest takie proste. Aby rozwiązać ten limit, musimy wykonać następujące czynności:

1. Odnaleźć x do najwyższej potęgi licznika (w naszym przypadku to dwa).

2. Podobnie definiujemy x do najwyższej potęgi w mianowniku (również równej dwa).

3. Teraz dzielimy licznik i mianownik przez x w stopniu wyższym. W naszym przypadku w obu przypadkach – w drugim, ale gdyby były różne, powinniśmy przyjąć najwyższy stopień.

4. W otrzymanym wyniku wszystkie ułamki mają tendencję do zera, dlatego odpowiedź to 1/2.

Z niepewnością (x dąży do określonej liczby)

Zarówno licznik, jak i mianownik są jednak wielomianami, "X" dąży do określonej liczby, a nie do nieskończoności.

W takim przypadku warunkowo zamykamy oczy na fakt, że mianownik wynosi zero.

Przykład: Znajdźmy granicę funkcji poniżej.

Rozwiązanie

1. Najpierw podstawmy liczbę 1 do funkcji, do której "X". Dostajemy niepewność formy, którą rozważamy.

2. Następnie rozkładamy licznik i mianownik na czynniki. Aby to zrobić, możesz użyć skróconych wzorów mnożenia, jeśli są odpowiednie, lub.

W naszym przypadku pierwiastki wyrażenia w liczniku (2x² – 5x + 3 = 0) to liczby 1 i 1,5. Dlatego może być reprezentowany jako: 2(x-1)(x-1,5).

Mianownik (x–1) jest początkowo prosta.

3. Otrzymujemy taki zmodyfikowany limit:

4. Ułamek można zmniejszyć o (x–1):

5. Pozostaje tylko zastąpić liczbę 1 w wyrażeniu uzyskanym w ramach limitu: