Spis treści
W tej publikacji rozważymy definicję rangi macierzy, a także metody jej odnalezienia. Przeanalizujemy również przykłady, aby zademonstrować zastosowanie teorii w praktyce.
Wyznaczanie rangi macierzy
Ranga macierzy to ranga jego systemu wierszy lub kolumn. Każda macierz ma równe sobie rangi wierszy i kolumn.
Pozycja w systemie wierszy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy. W podobny sposób określa się rangę systemu kolumn.
Uwagi:
- Ranga macierzy zerowej (oznaczona symbolem „θ„) o dowolnej wielkości wynosi zero.
- Rząd dowolnego niezerowego wektora wiersza lub wektora kolumny jest równy jeden.
- Jeżeli macierz dowolnej wielkości zawiera przynajmniej jeden element, który nie jest równy zero, to jej ranga jest nie mniejsza niż jeden.
- Ranga matrycy nie jest większa niż jej minimalny wymiar.
- Przekształcenia elementarne wykonywane na macierzy nie zmieniają jej rangi.
Znajdowanie rangi macierzy
Metoda frędzlowania drobnego
Ranga macierzy jest równa maksymalnemu rzędowi niezera.
Algorytm wygląda następująco: znajdź drugorzędne od najniższych rzędów do najwyższych. Jeśli nieletni n-ty rząd nie jest równy zero, a wszystkie kolejne (n + 1) są równe 0, więc rząd macierzy wynosi n.
Przykład
Żeby było jaśniej, weźmy praktyczny przykład i znajdźmy rangę macierzy A poniżej, stosując metodę graniczenia nieletnich.
Rozwiązanie
Mamy do czynienia z macierzą 4×4, dlatego jej ranga nie może być wyższa niż 4. Ponadto w macierzy występują elementy niezerowe, co oznacza, że jej ranga jest nie mniejsza niż jeden. Więc zacznijmy:
1. Rozpocznij sprawdzanie nieletni drugiego rzędu. Na początek bierzemy dwa rzędy pierwszej i drugiej kolumny.
Drobne równa się zero.
Dlatego przechodzimy do następnej mniejszej (pozostaje pierwsza kolumna, a zamiast drugiej bierzemy trzecią).
Mniejsza to 54≠0, więc ranga macierzy wynosi co najmniej dwa.
Uwaga: Gdyby ten mniejszy okazał się równy zero, sprawdzilibyśmy dodatkowo następujące kombinacje:
W razie potrzeby wyliczenie można kontynuować w ten sam sposób za pomocą ciągów:
- 1 i 3;
- 1 i 4;
- 2 i 3;
- 2 i 4;
- 3 i 4.
Gdyby wszystkie drugorzędne drugorzędne były równe zero, to rząd macierzy byłby równy jeden.
2. Niemal od razu udało nam się znaleźć nieletniego, który nam odpowiadał. Więc przejdźmy do nieletni trzeciego rzędu.
Do znalezionego podrzędnego drugiego rzędu, który dał wynik niezerowy, dodajemy jeden wiersz i jedną z kolumn podświetlonych na zielono (zaczynamy od drugiej).
Nieletni okazał się być zerem.
Dlatego zmieniamy drugą kolumnę na czwartą. A przy drugiej próbie udaje nam się znaleźć minor, który nie jest równy zero, co oznacza, że rząd macierzy nie może być mniejszy niż 3.
Uwaga: gdyby wynik znów okazał się zerem, zamiast drugiego rzędu, posunęlibyśmy się dalej czwartym i kontynuowali poszukiwanie „dobrego” nieletniego.
3. Teraz pozostaje do ustalenia nieletni czwartego rzędu na podstawie tego, co zostało znalezione wcześniej. W tym przypadku jest to taki, który pasuje do wyznacznika macierzy.
Mniejsza równa się 144≠0. Oznacza to, że ranga macierzy A równa się 4.
Redukcja macierzy do postaci schodkowej
Ranga macierzy schodkowej jest równa liczbie jej niezerowych wierszy. Oznacza to, że wystarczy sprowadzić macierz do odpowiedniej postaci, np. za pomocą , co jak wspomnieliśmy powyżej nie zmienia jej rangi.
Przykład
Znajdź rangę macierzy B poniżej. Nie podajemy zbyt złożonego przykładu, ponieważ naszym głównym celem jest po prostu zademonstrowanie zastosowania metody w praktyce.
Rozwiązanie
1. Najpierw odejmij podwojoną pierwszą od drugiej linii.
2. Teraz odejmij pierwszy rząd od trzeciego, pomnożony przez cztery.
W ten sposób otrzymaliśmy macierz kroków, w której liczba niezerowych wierszy jest równa dwa, a więc jej ranga jest również równa 2.